Понятие множества
Множества будем обозначать большими буквами %%A, B, ..., X, Y, Z%%, а их элементы — малыми буквами %%a, b, ..., x, y, z%%. Однако строго придерживаться этого правила невозможно, ибо множества сами могут быть элементами других множеств.
Принадлежность
То, что %%x%% является элементом множества %%E%%, обозначают %%x \in E%% и говорят, что «элемент %%x%% принадлежит множеству %%E%%» (символ %%\in%% является символом принадлежности; иногда его используют в виде %%\ni%% и пишут %%E \ni x%%, что означает: «множество %%E%% содержит элемент %%x%%»). Запись %%x \notin E%% (или %%x \overline{\in} E%%) означает: «элемент %%x%% не принадлежит множеству %%E%%». Если множеству %%E%% принадлежат элементы %%x, y, z%%, то вместо того, чтобы писать %%x \in E%%, %%y \in E%%, %%z \in E%%, пишут %%x,y,z \in E%%.
Равенство
Два множества %%E_1%% и %%E_2%% называют равными (%%E_1 = E_2%%), если они состоят из одних и тех же элементов.
Задание
Множество считают заданным, если его элементы известны или можно их найти. Множество можно задать перечислением его элементов. Перечень элементов множества обычно заключают в фигурные скобки. Например, %%A = \{1, 2, 3, 4\}%% — множество %%A%%, элементами которого являются числа 1, 2, 3, 4 и только они. Множество, содержащее один элемент %%a%%, обозначают %%\{a\}%%.
Наиболее широко используют задание множества с помощью свойства, характеризующего его произвольный элемент %%x%%, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и только они. Для обозначения множества элементов, обладающих некоторым свойством %%P(x)%%, часто используют запись %%X = \big\{x : P(x)\big\}%% или %%X = \big\{x~|~P(x)\big\}%%. Читается как: %%X%% — множество элементов %%x%% таких, что выполнено %%P(x)%%. Например, %%A%% — множество городов России, т.е. $$ \begin{array}{c} A = \{x : x — \text{город России}\}, \\ A = \{x~|~x — \text{город России}\}, \end{array} $$ то характеристическим свойством %%P(x)%% для произвольного элемента %%x%% является принадлежность к российским городам.
Пустое множество
Может случиться, что указанным характеристическим свойством %%P(x)%% не обладает ни один элемент. Тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество, обозначаемое %%\varnothing%%. Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, в противном случае множество является бесконечным.
Мощность
Число элементов множества %%A%% называется мощностью множества %%A%% и обозначается %%|A|%%. Например, если %%A%% — множество букв русского алфавита, то %%|A| = 33%%.
Подмножества
Если множество %%A%% состоит из элементов, принадлежащих некоторому другому множеству %%E%%, то %%A%% называют подмножеством или частью множества %%E%%. Для обозначения этого используют специальный символ %%\subset%% , и запись %%A \subset E%% означает, что «%%A%% является подмножеством %%E%%». Подмножествами множества %%E%%, очевидно, являются само множество %%E%% и его пустая часть %%\varnothing%%. Множество всех подмножеств множества %%E%% является некоторым новым множеством, часто обозначаемым %%P(E)%%, которое можно образовать исходя из множества %%E%%. Можно затем рассматривать %%P\big(P(E)\big)%% и т.д.
Пример
Если %%E = \{a, b, c\}%%, то $$ P(E) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\}. $$
В общем случае, если множество %%E%% содержит %%n%% элементов, то множество его подмножеств %%P(E)%% содержит %%2^n%% элементов.
Включение множеств
Всякое непустое подмножество %%A%% данного множества %%E%% называют собственным подмножеством %%E%% , или правильной частью %%E%%. В этом случае записывают %%A \subset E%% и говорят, что «%%A%% включено в %%E%%», или %%E \supset A%% и говорят, что «%%E%% включает %%A%%» (символы %%\subset%% и %%\supset%% являются символами включения; символы %%\subseteq%% и %%\supseteq%% также являются символами включения, допускающими равенство множества и его подмножества). Ясно, что если одновременно %%A \subset E%% и %%A \supset E%% (или %%A \subseteq E%% и %%A \supseteq E%%), то %%A = E%%, а если %%A \subset B%% и %%B \subset E%% (или %%A \subseteq B%% и %%B \subseteq E%%), то согласно свойству транзитивности символа включения имеем %%A \subset E%% (или %%A \subseteq E%%). Запись %%A \not\subset E%% (или %%E \not\supset A%%) означает, что %%A%% не является подмножеством множества %%E%%.
Отметим, что очень важно не путать символы %%\subset%% и %%\in%%, поскольку соответствующие им понятия имеют много общего. Например, множеству %%E = \big\{a, \{b, c\}, d\big\}%% в качестве элемента принадлежит множество %%\{b, c\}%% , и поэтому наряду с записью %%a,d \in E%% в данном случае правомерна запись %%\{b, c\} \in E%%. Но %%b%% и %%c%%, являясь каждый в отдельности элементами множества %%\{b, c\}%%, т.е. %%b,c \in \{b, c\}%%, не являются элементами %%E%% (%%b,c\notin E%%). В качестве одноэлементных подмножеств множества %%E%% вместе с %%\{a\}%% и %%\{d\}%% можно рассматривать и множество %%\{b, c\}%%, записав наряду с %%\{a\} \subset E%% и %%\{d\} \subset E%% также и %%\big\{\{b, c\}\big\} \subset E%%. Однако, казалось бы, более простая запись %%\{b, c\} \subset E%% в данном случае будет не верна, так как из нее следует неверный вывод о том, что %%b%% и %%c%% являются элементами %%E%%.
Универсальное множество
Множество %%\Omega%% называется универсальным для множетсв %%A_1, A_2, \ldots, A_n%%, если каждое множество из данных множеств является подмножеством множества %%\Omega%%.