Множество действительных чисел. Числовая прямая
Действительные (вещественные) числа хорошо известны из школьного курса математики. Кратко остановимся на их свойствах, достаточно легко воспринимаемых каждым из нас. Действительные числа образуют множество элементов, обладающих следующими свойствами.
Свойство упорядоченности
Для любых двух чисел %%a%% и %%b%% определено соотношение порядка, т.е. два любых действительных числа %%a%% и %%b%% удовлетворяют одному из следующих соотношений: %%a < b, a = b%% или %%a > b%%; при этом если %%a < b%% и %%b < c%%, то %%a < c%%.
Свойства операции сложения
Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% определено такое единственное число, называемое их суммой и обозначаемое %%a + b%%, что выполняются следующие свойства.
- Коммутативность: %%a + b = b + a %%.
- Ассоциативность: %%a + (b + c) = (a + b) + c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
- Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое %%0%% , что %%a + 0 = a%% для любого числа %%a%%.
- Для любого числа %%a%% существует такое число, называемое противоположным %%a%% и обозначаемое %%-a%%, что %%a + (-a) = 0%%.
- Если %%a < b%%, то %%a + c < b + c%% для любого числа %%c%%. Нуль единственен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% число %%a + (-b) %% называют разностью чисел %%a%% и %%b%% и обозначают %%a - b%%.
Свойства операции умножения
Для любой пары чисел %%a%% и %%b%% определено такое единственное число, называемое их произведением и обозначаемое %%ab%% (или %%a \cdot b%%), что выполняются следующие свойства.
- Коммутативность: %%ab = ba%%.
- Ассоциативность: %%a(bc) = (ab)c%% для любых чисел %%a, b%% и %%c%%.
- Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое %%1%%, что %%a \cdot 1 = a%% для любого числа %%a%%.
- Для любого числа %%a%%, не равного нулю, существует такое число, называемое обратным к данному и обозначаемое %%1 / a%%, что %%a \cdot (1 / a) = 1%%.
- Если либо %%a%%, либо %%b%%, либо и %%a%% и %%b%% равны нулю, то %%ab = 0%%.
- Если %%a < b%% и %%c > 0%%, то %%ac < bc%%. Единица единственна, и для каждого ненулевого числа существует единственное обратное к нему. Для любой пары чисел %%a%% и %%b (b \neq 0)%% число %%a \cdot (1/b)%% называют частным от деления %%a%% на %%b%% и обозначают %%a/b%%.
Свойство дистрибутивности
Для любой тройки чисел %%a, b%% и %%c%% выполняется равенство %%(a + b)c = ac + bc%%.
Архимедово свойство
Каково бы ни было число %%a%%, существует такое натуральное число %%n \in \mathbb{N}%%, что %%n > a%%.
Рис. 1. Числовая прямая
Прежде чем сформулировать следующее свойство действительных чисел, напомним, что на прямой задана система отсчета, если на этой прямой фиксированы две различные точки (точки %%O%% и %%e%% на рис. 1). Левую из них (точку %%O%%) называют началом отсчета, а длина отрезка %%Oe%% задает единицу масштаба. Прямую с заданной системой отсчета называют координатной осью. Ее обычно обозначают %%Ox%%. Точка %%O%% делит координатную ось на две части: положительную полуось, где лежит точка %%e%%, и отрицательную полуось.
Координатой точки %%M%% на оси %%Ox%% называют длину отрезка %%OM%%, взятую со знаком %%+%%, если точка %%M%% лежит на положительной полуоси, и со знаком %%-%%, если точка %%M%% лежит на отрицательной полуоси.
Очевидно, что каждой точке %%M%% на оси %%Ox%% соответствует действительное число %%x%%, а именно, ее координата. И обратно, каждому действительному числу на оси %%Ox%% соответствует точка, для которой это действительное число является ее координатой. Всякий раз, когда это потребуется, будем считать, что между действительными числами и точками некоторой прямой установлено такого рода соответствие, причем %%e = 1%%, %%O = 0%%.
Таким образом, совокупность всех действительных чисел можно рассматривать как числовую прямую. Иногда вместо числовой прямой используют также термин «вещественная прямая». Отождествление действительных чисел с точками на числовой прямой будет в дальнейшем чрезвычайно полезным, так как служит вспомогательным средством для понимания и мотивацией введения новых понятий.
Подмножество %%X%% множества действительных чисел называют промежутком, если вместе с любыми двумя числами %%x_1, x_2%% это подмножество содержит любое %%x%%, заключенное между ними. Используют промежутки следующих видов:
- %%(a, b) = \{x: a < x < b\}%% — интервал, или открытый промежуток;
- %%[a, b] = \{x: a \leq x \leq b\}%% — отрезок, или замкнутый промежуток (иногда используют термин «сегмент»);
- %%(a, b] = \{x: a < x \leq b\}%% и %%[a, b) = \{x: a \leq x < b\}%% — полуинтервалы.
Если %%[a_1, b_1] \supseteq [a_2, b_2]%%, то отрезок %%[a_2, b_2]%% называют вложенным в отрезок %%[a_1, b_1]%%.
Свойство непрерывности
Для всякой системы вложенных отрезков $$ [a_1, b_1] \supseteq [a_2, b_2] \supseteq [a_3, b_3] \supseteq \ldots \supseteq [a_n, b_n] \supseteq \ldots $$ существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Это свойство называют также принципом вложенных отрезков (принципом Кантора).
Из перечисленных свойств действительных чисел можно получить, что 1 > 0, а также правила действий с рациональными дробями; правила знаков при умножении и делении действительных чисел; правила преобразования равенств и неравенств; свойства абсолютного значения действительного числа.
Абсолютное значение
Абсолютным значением (или модулем) %%|a|%% любого действительного числа %%a%% называют действительное число, удовлетворяющее условиям: $$ |a| = \begin{cases} a, \text{ если } a \geq 0 \\ -a, \text{ если } a < 0 \end{cases} ~~~~~~~~~~(1) $$
Отсюда следует, что абсолютное значение любого действительного числа неотрицательно %%(|a| \geq 0)%%, а также $$ \begin{array}{l} |a| = |-a|, \\ |a| \geq a, \\ |a| \geq -a, \\ -|a| \leq a \leq |a|. \end{array}~~~~~~~~~~(2) $$
Геометрически %%|a|%% соответствует расстоянию между точками числовой прямой, изображающими числа %%0%% и %%a%%.
Пусть справедливо неравенство %%|a| < \varepsilon%%, где %%\varepsilon%% — некоторое
положительное число
Для любых действительных чисел %%a%% и %%b%% справедливо равенство $$ |ab| = |a||b| ~~~~~~~~~~(3) $$ и выполняются неравенства: $$ \begin{array}{lr} |a + b| \leq |a| + |b| &~~~~~~~~~~(4),\\ |a - b| \geq \big||a| - |b|\big|&~~~~~~~~~~(5). \end{array} $$
При помощи (1) и (2) докажем неравенство (4): если %%a + b \geq 0%%, то $$ |a + b| = a + b \leq |a| + |b| $$ а если %%a + b < 0%%, то $$ |a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) < |a| + |b| $$
Приведенные выше свойства полностью описывают множество всех действительных чисел.
Множество всех действительных чисел, а также множество точек числовой прямой обычно обозначают %%\mathbb R%%.
Пополненное множество действительных чисел
Пополненным (или расширенным) множеством действительных чисел называют множество, образованное из всех действительных чисел %%x \in \mathbb R%% с добавлением двух элементов, обозначаемых %%+\infty%% («плюс бесконечность») и %%-\infty%% («минус бесконечность»). При этом полагают, что %%-\infty < +\infty%% и для всех чисел %%x \in \mathbb R%% справедливо %%-\infty < x < +\infty%%. Пополненное множество обозначают %%\overline{\mathbb R}%%. Ему соответствует расширенная (или пополненная) числовая прямая. Элементы %%-\infty%% и %%+\infty%% называют бесконечными точками такой прямой.
Подмножества множества %%\mathbb R%% действительных чисел
- Множество целых чисел $$ \mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} $$ есть собственное подмножество множества %%\mathbb R%% (%%\mathbb Z \subset \mathbb R%%).
- Множество натуральных чисел $$ \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots \} $$ является собственным подмножеством как множества %%\mathbb Z %%, так и множества %%\mathbb R%% %%(\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb R)%%.
Множество всех действительных чисел, которые представимы в виде частного от деления целого числа %%m \in \mathbb Z%% на натуральное %%n \in \mathbb N%%, называют множеством рациональных чисел и обозначают %%\mathbb Q%%, т.е. $$ \mathbb Q = \left\{\frac{m}{n}: m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N\right\} $$
Отношения %%\frac{m}{n}%% и %%\frac{m'}{n'}%% считают равными (представляющими одно и то же рациональное число %%r \in \mathbb Q%%), если %%mn' = nm'%%. Таким образом, у каждого рационального числа %%r = \frac{m}{n}%% может быть бесконечно много изображений %%r = \frac{p m}{p n}, p \in \mathbb N%%.
Очевидно, что %%\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R%%.
Бесконечные промежутки
На пополненной числовой прямой различают бесконечные интервалы $$ (b, +\infty) = \{x: x > b\}, (-\infty, a) = \{x: x < a\} $$ и бесконечные полуинтервалы $$ [b, +\infty) = \{x: x \geq b\}, (-\infty, a] = \{x: x \leq a\} $$ По аналогии с бесконечными интервалами множество всех точек на числовой прямой R обозначают часто %%(-\infty, +\infty)%% или просто %%(-\infty, \infty)%%.
Окрестность точки
Рис. 2. Окресность точки
Любой интервал %%(a, b)%%, содержащий некоторую точку %%x_0%% называют окрестностью этой точки и обозначают %%\text{U}(x_0)%%, т.е. %%\text{U}(x_0) = (a, b)%%, если %%x_0 \in (a, b)%%. Точку %%x_0%%, расположенную в середине своей окрестности %%(a, b)%%, в этом случае именуют центром окрестности, а расстояние %%\varepsilon = \frac{(b - a)}{2}%% — радиусом окрестности. Тогда множество %%\{x: |x - x_0| < \varepsilon\}%% называют %%\varepsilon%%-окрестностъю точки %%x_0%% и обозначают %%\text{U}(x_0, \varepsilon)%% или %%\text{U}_\varepsilon(x_0)%% (рис. 2).
На расширенной числовой прямой вводят понятие окрестности и для бесконечных точек %%+\infty%% и %%—\infty%%, тем самым уравнивая эти точки с конечными при рассмотрении многих вопросов. Пусть %%M%% — некоторое положительное число. Тогда %%\text{U}(+\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x > M\}%% и %%\text{U}(-\infty) = \{x \in \mathbb{R}: x < -M\}%%, а для объединения бесконечных точек %%\text{U}(\infty) = \{x \in \mathbb{R}: |x| > M\}%%. Ясно, что для любой из бесконечных точек окрестность с меньшим значением %%M%% включает окрестность с большим значением %%M%%.