Декартово произведение множеств
Определение
Произведением множеств (декартовым произведением множеств) %%A%% и %%B%% называют множество, обозначаемое %%A \times B%%, возможных упорядоченных пар %%(x, y)%%, где первый элемент взят из %%A%%, а второй — из %%B%%, так что $$ A \times B = \big\{(x, y): x \in A, y \in B\big\}. $$ Равенство двух пар %%(x, y)%% и %%(x', y')%% определяют условиями %%x = x'%% и %%y = y'%%.
Аналогично определению произведения множеств, можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества %%(A \times B) \times C%% и %%A \times (B \times C)%% отождествляют и обозначают просто %%A \times B \times C%%, так что $$ A \times B \times C = \big\{ (x, y, z): x \in A, y \in B, z \in C \big\}. $$
Произведения %%A \times A,~ A \times A \times A%% и т.д. обозначают, как правило, через %%A^2,~ A^3%% и т.д. Произведение %%n%% произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из %%n%% (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или %%n%%-ка (произносят «энка»). Произведение %%n%% множеств действительных чисел %%\mathbb R%% обозначают %%{\mathbb R}^n%% (читается: «эр энное»).
Примеры
Пусть %%A = \{ 1, 2 \}%% и %%B = \{ 1, 2 \}%%. Тогда %%A \times B = B \times A = \big\{ (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) \big\}%%, и множество %%A \times B%% можно отождествить с четырьмя точками плоскости %%\mathbb{R}^2%%, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества.
Если %%C = \{ 1, 2 \}%% и %%D = \{ 3, 4 \}%%, то $$ \begin{eqnarray} C \times D = \big\{ (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) \big\}, \\ D \times C = \big\{ (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) \big\}. \end{eqnarray} $$
Пусть %%E = \{ x: 1 \leq x \leq 2 \}%% и %%F = \{ x: 2 \leq x \leq 3\}%%.
Тогда $$ \begin{eqnarray} E \times F = \big\{ (x, y) : 1 \leq x \leq 2, 2 \leq y \leq 3 \big\}, \\ F \times E = \big\{ (x, y) : 2 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 2 \big\}. \end{eqnarray} $$